前言

守恒定律和流变模型在科学和工程领域中扮演着至关重要的角色，守恒定律是自然界中一系列基本原理的总结，描述了物质和能量在物理过程中的守恒规律。流变模型则是用数学方程描述物质在流动、变形等过程中的行为。这两个概念相辅相成，相互作用，为实现对复杂现象的理解和预测提供了有力工具。

然而，在实际应用中，常常需要处理物质的流动和变形问题。流变模型的发展正是为了解决这些复杂的实际问题而产生的。流变模型用于描述物质在流动和变形时的行为，通过建立数学方程来预测物质的流体力学性质。

这些模型的基础是流变学，即研究物质变形和流动行为的学科。流变学提供了对物质的粘度、弹性、塑性等性质进行描述和分析的工具，为工程领域中的设计和优化提供了重要支持。通过理解和应用这些基本原理，可以更好地理解自然界的现象，设计和改进工程系统，提高生产效率。

连续介质力学中对物质系统（固体或流体）演化的研究是基于对介观尺度的考虑，介观尺度高于材料的基本成分（原子，分子，大分子）的尺度，低于宏观尺度。在这种情况下，物质被视为一种连续的介质。

对于流体，这种介观尺度允许局部定义流体颗粒（或一般的元素体积），该颗粒足够小，可以与点相媲美，但同时又足够“大”，可以容纳非常多的元素组分。因此，流体物质系统的演化可以用两类量来描述，这两类量是局部定义的，但可以在宏观尺度上发生变化。

密集的热力学量，如密度，温度，压力等，对应于构成单元体的非常多的单元体组分的分子量的平均值，以及附加到单元体上的位置，速度，加速度，速度梯度等动力学量。

守恒定律

连续介质力学中物理问题的数学表述是基于质量守恒，线性和角动量以及能量的陈述。粘弹性流体的流动受制于这些相同的守恒定律，无论其微观结构的性质和复杂程度如何。先要建立一个控制流体非定常，不可压缩和非等温流动的方程组的假设和发展。

质量守恒：占域的流体体积V的质量由下式给出，占据Ω域的流体体积V的质量可由流体密度(ρ)在体积V上的三重积分给出：

该公式计算V的每一小部分的无穷小质量之和，该质量由该点的流体密度加权。

在没有产生或破坏物质过程的情况下，质量守恒原理表明，流体域的总质量始终保持恒定。这意味着流体域内的总质量不会随时间而改变。根据质量守恒定律，从而也就得出下式在任一时刻都成立：

该等式表明，密度的时间变化（等式的第一项）与通过速度矢量（等式的第二项）进出流体域的质量传输相平衡。

换句话说，质量守恒意味着，如果流体密度在某一点发生变化，则必须通过流入或流出该点的质量流进行补偿，以保持域的总质量不变。特别是，当流体颗粒的密度在其运动过程中（沿其轨迹）保持不变时，流动被称为不可压缩（等容）。

在这种情况下，质量守恒原理被简化为体积守恒条件（不可压缩约束）：

动量守恒：对于一个物质系统，动力学的基本定律表示加速度量的扭转和作用在其上的外力的扭转之间的平衡。运动体积V的流体域的动量和角动量的平衡分别由下式给出：

ʃvρu dV 和 ʃvx^ρu dV分别是动量和角动量，b表示单位质量的体积力，t是约束向量。此外，一方面，使用体积积分的导数表达式为：

动量守恒方程：动量守恒方程是通过应用发散定理得到的，其面积积分转换为体积积分的公式为：

对任意体积进行积分可以得到动量守恒方程的局部形式。

为了得到动量守恒方程的局部形式，我们可以使用雷诺输运定理，从而推导出体积积分的粒子方程式：

其中u为速度梯度张量。

应力张量对称性：张量对称性是指在某些操作下，张量的分量不发生变化。对于应力张量，它是一个二阶张量，描述了物体内部的应力状态。应力张量的对称性是指在旋转操作下，张量的分量保持不变。

具体来说，对于一个二维平面上的应力张量，它可以表示为一个2x2的矩阵，形式如下：

在二维平面上，旋转操作可以使得坐标系发生变换，但物体的应力状态不变。这意味着应力张量的分量也应该跟随坐标轴的旋转而发生变换，但最终的应力状态保持不变。

根据张量对称性的原理，应力张量的对角线元素 σxx 和 σyy 在旋转操作下保持不变，即 σxx' = σxx，σyy' = σyy。而对于剪切应力分量 σxy 和 σyx，它们在旋转操作下互为相等，即 σxy' = σyx，σyx' = σxy。

这种对称性可以简化应力张量的描述和分析，使得我们能够更方便地理解和计算应力状态。动量守恒方程的第二项中的第一项可以使用向量叉乘和散度定理来表示，如下所示：

公式(u ∧ v)i = εijkujvk表示向量u和v之间叉乘的第i个分量的计算。εijk符号考虑了叉乘的反对称性，并允许正确计算。

使用这种符号表示法并应用散度定理，动量守恒方程的第二项中的第一项可以写为εijk(vi∂jvj)k，其中i、j和k是从1到3的求和指标。在任意体积V上进行积分，对于所有的i=(1, 2, 3)，我们得到σjk−σkj =0。因此，动量矩守恒要求应力张量σ是对称的，即 σ = σT。

在一个正交规范坐标系中，其三个坐标轴的单位向量分别为ex，ey，ez，应力张量的分量通常表示为图1中所示的方式。

图1.-柯西应力张量分量的通常示意图

柯西应力张量分量的方程式

其中，σ11、σ22、σ33是法向应力，σ12=σ21、σ13=σ31、σ23=σ32是剪切应力。对于静止的流体，切应力为零，只有法向应力存在，应力张量是各向同性的，即σ = -pI，其中p为压力。

然而，当流体处于流动状态时，其他来自不同来源（粘性、弹性等）的力可以添加到压力力中，并对应力张量做出贡献。也就是说，柯西应力张量可以先分解为两部分：一部分是球对称、各向同性的部分，另一部分是由额外应力张量T给出的偏差部分，即：

热力学的第一定律对于一个物质系统来说，表达了总能量（单位质量的内能和动能之和）的时间变化率与外力功率之和，再加上热输入功率（单位时间和体积产生或通过其表面边界S接收）的平衡关系。能量守恒方程可以表示为：

其中ε是单位质量内能，u表示连续介质的速度场，b表示体积力，ϕ表示体积单位产生的热能（例如由于在流体内吸收的辐射引起的）和q是通过表面S传输的热通量密度（通过对流、传导或表面辐射）。

利用散度定理和体积积分导数的表达式（雷诺传输定理）并考虑质量守恒方程，我们可以得到以下关系：

该方程第二成员的第一项可以展开如下：

考虑到应力张量的对称性，我们可以注意到在等式中出现了动量守恒方程。通过对任意体积V进行积分，还可以得到能量守恒方程的局部形式，即：

另一方面，对于热传导的情况，热通量与温度梯度之间遵循傅里叶定律，即 q = -Λ · ∇T，其中Λ是一个二阶张量，称为热传导系数张量。对于均匀和各向同性的流体，热传导系数张量是各向同性的，即Λ = kI，其中k(T)是一个正的标量，代表热导率。

对于没有体积产生热能的情况下，且具有无膨胀（β=0）的流体，并考虑到不可压缩条件∇·u=0，方程（1.22）可以重新写成如下形式：

如果将压力力的作用忽略，那我们最终得到如下形式：

一般情况下，流体非定常不可压缩流动的质量，动量和能量守恒方程如下：

流变模型

对于不可压缩的非等温流体流动，可以利用先前建立的五个数量守恒方程来描述，这包括质量守恒方程，三个动量守恒方程和能量守恒方程。在这些方程中，定义了11个标量变量，分别是：速度的三个分量u = (u1, u2, u3)，压力p，六个独立分量的额外应力张量T = Tij，以及温度T。

然而，未知数的数量不满足方程的数量，因此前面某三个方程组是不完整的。为了补充这个数学描述，需要将与流动的运动学变量有关的额外应力张量与方程相关联。

这个关系被称为本构方程或行为定律，它以变形速率及其导数的泛函形式表达了流体的流变状态，其内在地依赖于流动和材料微观结构。然而，并不存在适用于所有材料的普适本构方程。

流变学是研究物质（在其各种状态下：流体，固体，交联状态，等离子体状态等）的应力和变形之间的关系。它的两个主要关注点是发展不同材料的本构方程，以及解释流变行为与介质的微观分子结构，组成和热力学状态（即温度和压力）的关系。

然而，在建立本构方程时，可以区分两种方法。前者以连续介质力学为基础，采用对材料的宏观描述。

第二种是对材料的微观描述，描述了每种材料的特殊微观结构和潜在的分子相互作用。此外，为了开发和验证这种对施加力后产生的变形的实验测量的描述，其中需要对特定变形产生的应力进行实验测量。

在流变行为方面，可以区分两大类。一方面，牛顿行为是简单流体的特征，没有复杂的微观结构。另一类是具有复杂微观结构的流体的非牛顿行为，如聚合物溶液，血液，滑液，胶体悬浮液，乳剂，油漆，钻井泥浆等。

此外，对于牛顿流体或线性弹性材料，简单的观察已足以描述其流变状态，而对于非牛顿流体的流变状态的描述通常需要来自多种实验数据。

结论

在回顾了描述牛顿流体和复流体本构规律模型的发展基础之后，特别强调了一些模型，这些模型将在描述二次流动时进行分析，以便更好地理解它们的具体行为对动态和热物理现象的作用，以及它们与某些流体的性质和组成参数的关系。

这些模型将成为进行数值开发的基础，以将它们的非线性方程与动量、连续性和能量守恒方程耦合在一起。对于简剪切流和单轴延伸流，多项实验和数值计算得出的结论一致，这也说明对非线性模型对实验观测的预测是准确的。

表1给出了所考虑的不同流变模型的流变参数，张量函数H(t)以及法向应力和剪切粘度的第二差值的近似值。其中，"tr(τ)"表示τ的迹，η表示剪切粘度，λ表示松弛时间，ξ表示UCM模型的反弹性参数，F(tr(τ))表示PTT模型的函数参数。

表格1.非线性项、流变参数、正应力的二阶差分系数和剪切粘度，以及每个考虑的模型中的指数n和m代表的实数

守恒定律是自然界中一系列稳定的、不可逆转的基本规律，包括质量守恒定律、能量守恒定律和动量守恒定律。这些定律为解析和解释自然界中的各种现象提供了基础和框架。

流变模型是用于描述物质在流动和变形过程中行为的工具，通过建立数学方程，流变模型可以预测物质的流体力学性质，如粘度、弹性和塑性等。这对于各种工程领域的设计和优化起到了至关重要的作用。

随着科技的进步和工程需求的不断增加，守恒定律和流变模型的研究和应用将继续发展。它们不仅推动了科学和工程领域的发展，也增强了对自然界规律的认识，为技术创新和社会进步提供了坚实的基础。